Приемы устного счета

Чтобы научить ребенка считать, надо самому немного владеть техникой арифметических вычислений. Овладев простыми приемами, вы сможете превратить процесс обучения счету и само вычисление в игру.

Умение быстро производить арифметические вычисления в уме может придать вам чувство уверенности, особенно, если у вас нелады с математикой. Возможно, освоив арифметический счет, вы захотите разобраться и с другими частями математики.

Мы рассмотрим шесть приёмов счета, которые, надеемся, помогут вам воспринимать арифметику как игру. Воспринимайте их как шаблоны работы с числами, вам остается научиться выбрать нужный приём в каждом конкретном случае.

Рассмотрим способы, связанные с умножением.

Не расстраивайтесь, если способы покажутся вначале трудными. Изучайте по одному способу. Прочитайте описание, объяснение и несколько примеров для каждого способа, который вы изучаете. Придумайте несколько своих собственных примеров и попрактикуйтесь.

Научившись способу, при его применении вначале обязательно проверяйте свой результат, умножая способом, к которому привыкли, пока новый способ не станет вашей второй натурой. Проверять результаты важно – хуже всего научиться использовать их неправильно.

1. Умножая на 9, 99  или 999

Умножение на 9 это умножение на 10-1

Так что 9x9 равно 9x(10-1) = 9x10-9 = 90-9 = 81.

Пример посложнее: 46x9 = 46x10-46 = 460-46 = 414.

Еще один пример: 68x9 = 680-68 = 612.

Умножение на 99, эквивалентно умножению на 100-1.

Пример: 46x99 = 46x(100-1) = 4600-46 = 4554.

Аналогично умножение на 999.

38x999 = 38x(1000-1) = 38000-38 = 37962.

2. Умножение на 5, 25 или 125

Умножение на 5 это просто умножение на 10 и затем деление на 2.

12x5 = (12x10)/2 = 120/2 = 60.

Другой пример: 64x5 = 640/2 = 320.

И 4286x5 = 42860/2 = 21430.

Чтобы умножить на 25, умножьте на 100 и затем разделите на 4. ( Деление на 4 можно провести в два этапа – разделив на 2 и еще раз разделив на 2.

64x25 = 6400/4 = 3200/2 = 1600.

58x25 = 5800/4 = 2900/2 = 1450.

Умножая на 125, вы умножаете на 1000 и затем делите на 8, поскольку 8x125 = 1000. Учитывая, что 8 = 2x2x2, можем делить три раза на 2.

32x125 = 32000/8 = 16000/4 = 8000/2 = 4000.

48x125 = 48000/8 = 24000/4 = 12000/2 = 6000.

3. Умножение двух чисел, отличающихся на небольшое четное число

Этот прием работает только в том случае, если вы помните или можете быстро сосчитать квадраты чисел. Можно запомнить несколько квадратов для той области чисел, с которыми чаще всего вам приходится иметь дело, тогда вы сможете легко перемножать пары чисел, отличающихся на 2, 4 или 6.

Перемножим 12x14.

Когда два числа отличаются на 2, их произведение равно квадрату числа между ними минус 1.

12x14 = (13x13)-1 = 168.

16x18 = (17x17)-1 = 288.

99x101 = (100x100)-1 = 10000-1 = 9999

Если два числа отличаются на 4, то их произведение равно квадрату числа посередине (равно их среднему) минус 4.

11x15 = (13x13)-4 = 169-4 = 165.

13x17 = (15x15)-4 = 225-4 = 221.

Если два числа отличаются на 6, то их произведение равно квадрату среднего минус 9

12x18 = (15x15)-9 = 216.

17x23 = (20x20)-9 = 391.

Основан этот способ на простой формуле разности квадратов a² – b² = (a – b)(a = b).

4. Возведение в квадрат двухзначных чисел, заканчивающихся на 5

Если число заканчивается на 5, то его квадрат всегда заканчивается на 25. Остальные цифры получаем, взяв левую цифру и умножив её на число, большее на единицу. Приписываем их слева от 25.

35x35 заканчивается на 25. Остальные цифры получим, умножив 3 на число, большее на 1, то есть 4. Получаем 3x4 = 12. Таким образом 35x35 = 1225.

Чтобы вычислить 65x65, найдем 6x7 = 42 и получим в результате 4225.

85x85: учитывая, что 8x9 = 72 записываем результат 7225.

5. Умножение удваиванием и делением на два

Если нужно перемножить два числа, одно из которых четное, то можно разделить четное число на два, умножив второе число на два. Вы можете делать так до тех пор, пока умножение не станет для вас легким.

Пусть вам нужно умножить 14 на 16. Можете поступить так:

14x16 = 28x8 = 56x4 = 112x2 = 224.

Другой пример: 12x15 = 6x30 = 6x3 и 0 в конце - 180.

48x17 = 24x34 = 12x68 = 6x136 = 3x272 = 816. (Хорошо, если ребенок сможет умножить 3x27 = 81).

6. Умножение двухзначных чисел, у которых первые числа одинаковы, а сумма последних равна 10

Положим, вы хотите перемножить 42 и 48. У обоих чисел первая цифра 4. А другие цифры 2 и 8 дают в сумме 10. Тогда вы можете использовать следующий приём: умножне первое число на число, большее на 1, это даст первую часть ответа, затем перемножьте вторые числа, чтобы получить вторую (правую часть ) ответа.

Проведем умножение:

Чтобы вычислить 42x48: умножьте 4 на 4+1. Имеем, 4x5 = 20. Запишите 20.

Перемножим вторые числа: 2x8 = 16.

Произведение 42 и 48 равно 2016.

Еще примеры: 64x66. 6x7 = 42. 4x6 = 24. Результат 4224.

86x84. 8x9 = 72. 6x4 = 24. Результат 7224

День рождения пончика

Мы все знаем, как выглядят пончики: круглые, ароматные, пышные, а внутри дырочка. Но в разных странах они разные, а история их возникновения овеяна морскими ветрами.

Большинство историков полагают, что появлению современных пончиков мы обязаны моряку, голландцу по имени Хансон Грегори. Его мама Элизабет славилась тем, что хорошо пекла булочки и кексы - olykoeks. В одно из путешествий она заготовила их сыну и даже дала рецепт коку, чтобы он мог их готовить для Грегори в плавании. Однако у них не было дырочек. Одна из версий гласит, что 22 июня 1847 года, когда капитан Грегори был на руле, наслаждаясь мамиными булочками, неожиданно налетел шторм, и морской волк, чтобы освободить руки, нанизал булочку на ручку рулевого колеса. Естественно, в булочке образовалась дырка. Грегори понравилась новая форма пирожка, и он распорядился, чтобы кок готовил их теперь в таком виде.

Конечно, это только одна из историй. Есть и другие. Часто у изобретения бывают разные родители. Возможно, пончики появились в разных странах, в разных формах. Но Хансон Грегори самый известный из «изобретателей», и, видимо, больше всего подходит на эту роль.

Другая версия этой истории состоит в том, что Элизабет Грегори готовила свои olykoeks вставляя в середину орех, а тесто было вокруг. Но Хансону орехи не нравились и он их вынимал.  

В других странах есть похожие деликатесы:  

• Aebelskiver – Датский пончик, выглядящий так же, но внутри кусочек яблока;
• Beignet – французская версия пончика;
• Berliners (или Bismarcks) – немецкая версия пончика, обычно с джемом или желе;
• Oliebollen -  еще одна голландская разновидность пончика, содержащая кусочек яблока и изюм. Готовится к новогоднему столу;
• Zeppole – итальянский пончик.

Рецепты пончиков

Исследования показывают, что люди глупеют

Два исследователя совместно с Центром Экономических Исследований Рагнара Фишера в Норвегии установили, что результаты IQ тестов медленно снижаются в течении последних десятилетий. В своей статье, опубликованной в Proceedings of the National Academy of Sciences, Бернт Братсберг и Оле Рогерберг описали свое исследование и полученные ими результаты. Они также предложили некоторые возможные объяснение обнаруженным явлениям.

Предыдущие исследования, основанные на определениях IQ, показали, что в первой половине прошлого столетия люди становились умнее – тенденция, названная эффектом Флинна (Flynn). Были предложены разные теории, объясняющие улучшение интеллекта человека – улучшение питания, развитие здравоохранения, образование и т.п.- разбирались все факторы, которые могли помочь людям вырасти более умными взрослыми, чем в их отсутствии. Но сейчас, как выяснили исследователи из Норвегии, эта тенденция закончилась. Вместо того, чтобы становиться умнее, люди начали глупеть.

Группа исследователей анализировала результаты тестов IQ молодых людей, призываемых на военную службу в Норвегии с1970 года по 2009 год. Были учтены 730 000 результатов тестов. Ученые установили, что результаты неуклонно снижались в среднем на семь пунктов за поколение.

Но это не единственная плохая новость. Различия между семьями, живущими в разных условиях, показали, что частично это только частично вызвано экологическими причинами. Так же, это поглупение объясняется изменениями в образе жизни: изменениями системы образования и тем, что дети стали меньше читать и больше играть в видео игры.

Анализ всех факторов внутри семей не нашел как доказательств гипотез, полагающих, что это вызвано уменьшением числа генов, ответственных за интеллект, так и связи с экологией.

Как ни печально, но и другие группы исследователей получили аналогичные результаты. Исследование, проведенное недавно в Британии, показало, что IQ уменьшался на 2.5 - 4.3 пункта каждое десятилетие, начиная с конца второй мировой войны.

Законченное в декабре 2017 года исследование в США, показало, что одной из причин этого является уменьшение количества рыбы в рационе детей. Это справедливо для многих стран, дети едят очень мало рыбы.

Подробнее: Bernt Bratsberg et al. Flynn effect and its reversal are both environmentally caused, Proceedings of the National Academy of Sciences (2018). DOI: 10.1073/pnas.1718793115

"Что в имени... ?". Месяцы

Мы измеряем время разными способами. Одна из единиц измерения  – месяц – используется тысячи лет. Не все, однако, знают, в честь кого они названы.

Названиями месяцев мы обязаны Древнему Риму.

Январь назван в честь римского бога Януса. У него были два лица, так что он мог смотреть в прошлое и будущее. Он так же был бог дверей.

Февраль получил свое имя в честь проводившегося в этом месяце древнеримского пастушеского праздника Луперкалии. Луперкалии были очень древним, возможно возникшим еще в до-римскую пору ежегодным праздником. Он проводился 15 февраля и был посвящен изгнанию злых духов, очищению города, здоровью и плодородию. Названный в честь бога Фавна Луперка, он также назывался "dies Februatus" –   праздничные дни по названию инструмента очищения «februa».

Март назван в честь Марса, римского бога войны. Вначале римский календарь начинался в марте и только после реформы календаря появились январь и февраль.

Апрель получил свое название от латинского слова aperire, означающего «открывать», подобно тому, как весной растения открывают свои цветы. Римляне называли месяц Aprilis.

Май  назван по имени греческой богини Майя. Символами месяца были близнецы Кастор и Поллукс, так как зодиакальный знак Близнецы начинается в мае.

Июнь месяц римской богини Юноны – богини брака и деторождения.Супруги главного бога Юпитера.

Июль  и Август были названы в честь важнейших политиков древнеримского мира  - Юлия Цезаря и первого римского императора Августа.

Остальные месяцы – Сентябрь, Октябрь, Ноябрь и Декабрь – первоначально означали седьмой, восьмой, девятый и десятый месяцы римского календаря. До того, как появились июль и август, названные в честь римских правителей, они назывались Quintilis и Sextilis, что означает пятый и шестой месяцы.

Нефертити: Красота зрелого возраста

В отличие от сегодняшних ориентированных на молодость СМИ, сегодняшнего мира бесконечных подтяжек и пластических операций в Древнем Египте мешки под глазами и морщины вокруг них считались признаками долгой, хорошо прожитой жизни.

«Действительно, чудесная работа. Бесполезно описывать её, вы должны это увидеть».  Так записал Людвиг Борхард в официальном дневнике раскопок 6 декабря 1912 года, день, когда он обнаружил «красочный бюст королевы в натуральную величину».

Бюст Нефертити предоставляет нам очень важную информацию о ценностях Древнего Египта: признаки возраста в Египте не скрывались стыдливо косметикой. Более того, мешки под глазами и морщины являлись признаками того, что человек хорошо распорядился своей долгой жизнью. А цвет кожи и расовая принадлежность в Древнем Египте не имели значения.

Древний Египет был страной молодых. Фараоны, чиновники, воины были молоды. Действовали они в рамках сложившихся традиций, используя поучения старших. Именно поэтому в нём так ценились традиции, а также опыт поживших людей. Возможно, поэтому он просуществовал так долго.

Математики-призраки

Математик Джон Рейнуотер (John Rainwater) опубликовал 10 исследовательских статей в области функционального анализа, наиболее значительные из которых относятся к Банаховым пространствам и выпуклым функциям. Университет Вашингтона назвал в его честь регулярный семинар. Теорема Рейнуотера играет важную роль в теории суммирования.

Его достижения выглядят еще более впечатляющими по той простой причине, что он не существует. В 1952 году выпускник университета Вашингтона Ник Мэсси получил по ошибке регистрационную карточку и придумал фиктивного студента, назвав его Джоном Рейнуотером, потому что в это время лил дождь. “Рейнуотер” был принят другими студентами и начал отправлять решения задач в American Mathematical Monthly, и работы Рейнуотера продолжали появляться в течение его долгой 60-летней успешной карьеры – так одну его статью процитировали в 19 других работах.

На вопрос, почему он публиковал работы под именем Рейнуотера, Джон Избелл процитировал Фридриха Шиллера: «Человек только тогда полностью человек, когда он играет».

Рейнуотер не единственный значительный математик, которому не понадобилось материализоваться в человеческом теле, его старший коллега Николя Бурбаки издал многотомный труд, в Оверни работает их коллега Артур Бессе, а в России трудится Джет Неструев.

Похвала ничегонеделанию

В 1950-х годах ученые беспокоились, что, благодаря развитию технологий, люди не будут знать, что им делать со своим свободным временем.

Но сегодня, как отмечает социолог Джулиет Шор американцы перерабатывают, тратя на это больше времени, чем в любое время, больше, чем во время великой депрессии и значительно больше, чем в любой другой период Западного общества.

Возможно, это и не связано с тем, что мгновенный и постоянный доступ информации стал деформировать наше время, а наши устройства постоянно обрушивают на нас шквал требовательных сообщений: «Срочно», «Срочная новость», «Ответить как можно скорее».

Это губит наш отдых, ворует время, необходимое семье и даже разрушает наше сознание.

Последние десять лет профессор университета Невады Саймон Готтшалк пытался понять социальные и психологические последствия нашего растущего взаимодействия с новыми информационными и коммуникационными технологиями, свое понимание предмета он изложил в книге "The Terminal Self Everyday Life in Hypermodern Times.”

В этом современном режиме 24/7 призыв ничего не делать звучит нереалистично и необоснованно.

Но он никогда не был столь важен.

Ускорение ради ускорения

Почему в век удивительных технических достижений, которые увеличили человеческие возможности и улучшили здоровье, повседневная жизнь кажется столь напряженной и столь тревожной?

Почему не становится легче?

Вопрос сложный, но одной из причин возникновения этой иррациональной ситуации является вынужденное ускорение.

Согласно немецкому ученому Хартмуту Роза, ускоренное технологическое развитие вызвало ускоренное изменение общественных институтов.

Мы видим это на заводских этажах, где производство «точно-в-срок» требует максимальной эффективности и способности быстро реагировать на требования рынка, в университетских аудиториях, в которых компьютерные программы помогают преподавателям в том, чтобы студенты быстрее проходили материал. В продуктовом ли магазине или аэропорту, к лучшему или худшему, все сводится к тому, чтобы ускорить процесс.   

Заметное ускорение началось более двух столетий назад, во время индустриальной революции. Но это ускорение ускорило само себя. Не руководствуясь ни логическими целями, ни согласованным соображением, движимое собственным импульсом и не встречая большого сопротивления, ускорение, похоже, ускорилось ради ускорения.

Согласно Роза это ускорение имитирует тоталитарную власть: 1) оно оказывает давление на волю и действия субъектов; 2) оно неизбежно; 3) оно всепроникающе; и 4) его трудно или почти невозможно критиковать и бороться с ним.

Под прессом поспешности

Неконтролируемое ускорение имеет серьезные последствия.

На уровне окружающей среды – мы используем природные ресурсы быстрее, чем они могут восстанавливаться и производим мусора больше, чем можем обработать.

На личностном уровне это искажает наше восприятие времени и пространства. Ухудшает наш подход к повседневной деятельности, деформирует наше отношение друг к другу и разрушает чувство стабильности. Это приводит нас к выгоранию и депрессии. Подавляет критическую оценку и концентрацию. Психологический результат – стрессы и ухудшение жизненных функций организма.

Когда все вокруг ускоряется, мы тоже должны «жать на газ», чтобы не отстать, что приводит к разбалансированию работы и самоощущения.

Ускоренный ритм жизни увеличивает нагрузки, а что в результате? Увеличение рабочих нагрузок отбирает энергию и силы от жизненно важных видов деятельности: семьи, отдыха, общения, гражданской активности и самоусовершенствования.

Замкнутый круг: больше работаем – хуже живем.

Ничегонеделание и «бытие»

В гипермодернистском обществе, движимом двумя двигателями -  ускорением и потреблением, «ничегонеделание» приравнивают к лени, отсутствию амбиций, скуке и потере времени.

Но это довольно потребительское понимание человеческого существования.

Исследования – и много духовных и философских систем – полагают, что отключение от повседневной суеты и проведение времени в простом размышлении и созерцании необходимы для здоровья физического и духовного, а так же для личностного роста.

Аналогично, приравнивание «ничегонеделания» к плохой производительности показывает близорукое понимание производительности. В действительности, исследования в области психологии выявили, что  «ничегонеделание» чрезвычайно важно для творчества, и кажущийся бездельничающим человек может в действительности развивает новый взгляд, изобретать или сочинять мелодию: Архимед открыл свой закон, отдыхая в бане, а Альберт Эйнштейн был известен тем, что часами мог смотреть в пространство в своем кабинете.

Исследования показывают, что ум нуждается в отдыхе, мысли надо пускать на самотек, чтобы мозг мог генерировать новые идеи.

Ничего не делать – или просто быть – важная часть человеческого благополучия, также как делать что-то.

Самое важное – найти между ними равновесие.

Нужно снять ногу с педали

Альбер Камю возможно выразил это лучше всего: «Безделье пагубно только для посредственностей».