Revolver Maps

среда, 27 июля 2016 г.

Представление числа в виде суммы двух квадратов

Как определить, можно ли представить число в виде суммы квадратов двух целых чисел?

На этот вопрос дает ответ теорема Ферма:

Число N можно представить как сумму двух квадратов тогда и только тогда, когда при разложении числа N на простые множители каждое простое число вида (4k+3) встречается четное число раз.

Например: 245 = 5*7*7. Единственное простое число вида 4k+3 это 7 и оно встречается дважды. Следовательно, возможно записать число 245 как сумму двух квадратов (квадраты 14 и 7). В разложении числа 42 = 2*3*7 только одна семерка, и невозможно записать 42 в виде суммы двых квадратов.

Следствием этого факта является то, что любое простое число вида (4k+1) может быть представлено в виде суммы двух квадратов.


В 1202 году Фибоначчи доказал красивую теорему.

Теорема: Если целые числа N и M могут быть представлены в виде суммы двух квадратов, то их произведение так же может быть представлено в виде суммы двух квадратов.

Например: 2=1 +1 и 34=9 + 25, их произведение 68 может быть представлено как сумма двух квадратов 68=64 + 4.
Это легко доказать с помощью формулы:


(a2+b2) (c2+d2) = (ac+bd)2 + (ad-bc)2.

Различные способы представления числа суммой двух квадратов


Итак, благодаря Ферма, мы знаем критерий, по которому можно определить, представимо ли число суммой двух квадратов. 11 — нельзя, а 13 (9 + 4) - можно.

Возникает вопрос — сколькими способоми в среднем можно записать число в виде суммы двух квадратов?

Следует пояснить, что имеется в виду под в среднем. Пусть W(N) число способов, которыми мы можем записать N в виде суммы двух квадратов. W(11)=0, а W(13)=8 (суммы квадратов всех возможных комбинаций +/-3 и +/-2 , в любом порядке).

Тогда, пусть A(N) среднее чисел W(1), W(2), ..., W(N), то есть A(N) это среднее число способов, какими первые N чисел могут быть представлены в виде суммы двух квадратов. Предел последовательности A(N) при N стремящемся к бесконечности и даст нам «среднее» число способов, какими можно представить число в виде суммы двух квадратов по всему множеству целых положительных чисел

Удивительно то, что этот предел существует и равен... π!


math.hmc.edu

Комментариев нет:

Отправить комментарий