Признаки делимости.

Все могут сказать, когда число делится на 2 или 5, возможно, вы можете определить, делится ли число на 3. Существуют, оказывается “признаки” деления для любого числа.

Вот правила для делителей от 2 до 11:

2

Последняя цифра делится на 2.

3

Сумма всех цифр числа делится на 3.

4

Последние две цифры делятся на 4.

5

Последняя цифра 5 или 0.

6

Число делится на 2 и на 3.

7

Разделите число на две части: последняя цифра и все, что до неё. Теперь у вас два числа. Умножьте число, которое было последней цифрой на два. Отнимите его от другого числа. Если получившаяся разность делится на 7, то и первоначальное число делится на 7.

Например, делится ли 854 на 7?

Разделим число на две части – число А: 85 и число В: 4.

Число А – 2*число В = 85 – 2*4  = 77.

Очевидно, что 77 делится на 7, следовательно 854 также делится на 7.

8

Последние 3 цифры делятся на 8.

9

Сумма всех цифр числа делится на 9.

10

Последняя цифра 0.

11

Разбейте число на две части, как это вы делали при определении делимости на 7. Отнимите от первой части последнее число (не умножая его на 2). Если получившееся число делится на 11, то и первоначальное число делится на 11.

Например: Определим, делится ли 1496 на 11. Разобьём его на две части – число А: 149 и число В: 6.

149 – 6 = 143. Если вам лень в уме разделить 143 на 11, повторим операцию: 14 – 3 = 11. Делится на 11. Следовательно, 143 делится на 11 и 1496 делится на 11.

Есть быстрый способ для определения делимости трехзначных чисел на 11:

Если средняя цифра больше наружных, то все число делится на 11, если среднее число равно сумме наружных. Например: 187 делится на 11, потому что 1 + 7 = 8.

Если средняя цифра меньше, то отберем 1 от сотен и добавим к среднему, как десятку. Например: определим, делится ли 506 на 11. Рассматриваем не 5, 0 и 6, а 4, 10 и 6. 4 + 6 = 10, значит, 506 делится на 11.

Более общие признаки

Для всех делителей, оканчивающихся на 1

Делитель	Множитель для последней цифры
11	1
21	2
31	3
41	4
51	5 (каждый раз добавляем 1)
И так далее...

Например, чтобы определить, делится ли число на 31, умножьте последнюю цифру на 3 и отнимите от остальной части числа.

Делится ли 34 379 на 31?   3437 – 3*9 = 3410. Которое делится на 31, следовательно и 34379 делится на 31

Для всех делителей, оканчивающихся на 3

Делитель	Умножьте последнюю цифру на...
3	2
13	9
23	16
33	23
43	30
53	37 (каждый раз добавляйте 7)
И так далее...

Для всех делителей, оканчивающихся на 7

Делитель	Умножьте последнюю цифру на ...
7	2
17	5
27	8
37	11
47	14
57	17 (каждый раз добавляйте 3)
И так далее...

Для всех делителей, оканчивающихся на 9

Делитель	Умножайте последнюю цифру на...
9	8
19	17
29	26
39	35
49	44
59	53 (каждый раз добавляйте 9)
И так далее...