Второе самое красивое равенство: Эйлерова характеристика

В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде

S + H = A + 2

где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.

Или: для любого выпуклого многогранника

Вершины – рёбра + грани = 2

В 1988 году читатели журнала Mathematical Intelligencer назвали это утверждение второй самой красивой математической теоремой. Первое место заняла формула Эйлера

e^iπ + 1 = 0

Самое красивое равенство

Эйлерова характеристика

Окружность Фейербаха или окружность девяти точек

Даже элементарная геометрия содержит в своих хранилищах множество чудес. Этот результат установил в 1765 году Леонард Эйлер и переоткрыл в 1822 году Фейербах (Feuerbach).


Нарисуйте треугольник, любой треугольник (хотя, вначале удобнее взять трегольник с острыми углами). Далее надо отметить девять особых точек на вашем чертеже.
1) Отметьте середины сторон треугольника (3 точки). Рисунок 1.

Рис. 1

2) Опустите из каждой вершины треугольника высоту на противолежащую сторону и отметьте основание высоты. (Если в треугольнике есть тупой угол, одна высота будет вне треугольника, так что продлите противоположную сторону до пересечения с высотой.) Рисунок 2. 

Рис. 2

3) Мы видим, что высоты пересеклись в одной точке. Отметьте середину между каждой вершиной и этой общей точкой. Рисунок 3. 

Рис. 3

Не имеет значения, какой треугольник вы построили — эти девять точек все лежат на окружности!  

Получившаяся окружность называется окружностью Фейербаха или окружностью девяти точек.  

Самое красивое равенство.

“Как шекспировский сонет, соединивший все ароматы любви или картина, показывающая красоту человеческих форм, намного более глубокую, чем скелет, обтянутый кожей, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования”

Стэнфордский математик Девлин написал в 2002 году эти слова о равенстве

e^iπ + 1 = 0

в своем эссе, названном “Самое прекрасное уравнение”.

Но что же делает формулу Эйлера столь захватывающей? И что вообще она означает?

Посмотрим, из чего она состоит.

Буквой e обозначено иррациональное число, начинающееся с цифр 2,7. Вы легко запомните следующие 12 цифр: два раза пишете год рождения Льва Толстого 1828 и 1828, затем год Победы 45 и удвоенное его значение 90. В результате 2,7182818284590... Вполне достаточно, чтобы поразить преподавателя. Оно управляет экспоненциальным ростом от популяции насекомых, до увеличения радиоактивных отходов. Это число представляет собой сумму обратных факториалов от 0 до бесконечности. Появляясь из ниоткуда, оно охватывает всю математику, физику и химию, участвуя в огромном количестве важных уравнений.

Буквой i обозначена “мнимая единица” - корень квадратный из -1. Она называется так потому, что в реальности не существует числа, квадрат которого был бы отрицательным числом, так что отрицательное число не может иметь квадратного корня. Но в математике встречаются такие ситуации, для чего и придумали мнимые числа.

Число π, уверен, известно всем. Выражая отношение длины окружности к диаметру, оно одно из самых любимых и интересных в математике и появляется в огромном количестве формул.

И вот, каким-то невероятным образом, эти три удивительных числа, одно из которых даже не существует в реальности, оказались не просто взаимосвязаны, но связаны такой простой и красивой формулой.

Посмотрим еще раз

e^iπ + 1 = 0

можно так

e^iπ  = -1

или так

e^iπ  = i²

Три очень важных и очень загадочных числа, охватывающих всю нашу науку, гармонично соединились в столь изящном выражении.

Возможно, Господь с его помощью хочет явить себя нам. Кто кроме Него мог создать такую красоту.