Фабрика единичек

 1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111
1234 × 9 + 5 = 11111
12345 × 9 + 6 = 111111
123456 × 9 + 7 = 1111111
1234567 × 9 + 8 = 11111111
12345678 × 9 + 9 = 111111111

Теорема Вивиани

 Выберите любую точку внутри равностороннего треугольника и измерьте расстояния до его сторон.

Сумма этих расстояний и есть высота треугольника.

Изображение: Wikimedia Commons

Петля 6174

1. Выберите четырехзначное число. (Не используйте 1111, 2222 и т. д.)

2. Расположите цифры в порядке возрастания.

3. Расположите цифры в порядке убывания.

4. Вычесть меньшее число из большего числа.

5. Повторите шаги 2, 3 и 4 с результатом и т. д. Что просходит?

 

Давайте попробуем 7173

Вычесть меньшее число из большего числа. 7731 - 1377 = 6354

Повторите процесс с 6354.

6543 - 3456 = 3087

8730 - 0378 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

7641 - 1467 = 6174

7641 - 1467 = 6174 (мы в петле).

Удивительно, но все четырехзначные числа (не кратные 1111) попадают в петлю 6174. Причина этого явления не найдена.

Что угол прямой творит...

 

Любые две линии, проведенные между противоположными сторонами квадрата и пересекающиеся под прямым углом, равны.

математическая красота

 121213882349 = (1212 + 1388 + 2349)3

128711132649 = (1287 + 1113 + 2649)3

162324571375 = (1623 + 2457 + 1375)3

171323771464 = (1713 + 2377 + 1464)3

368910352448 = (3689 + 1035 + 2448)3

Futilitycloset, 21  апреля 2017 г.

Ещё один признак делимости на 7

 Трехзначное число делится на 7 без остатка тогда и только тогда, когда прибавление удвоенной первой цифры к числу, образованному двумя последними цифрами, дает результат, который делится на 7. Так, например, 938 делится на 7, потому что 2 × 9 + 38 = 56 = 7 × 8.

На самом деле это можно распространить на числа любой длины: 229187 → 2 × 2291 + 87 = 4669 → 2 × 46 + 69 = 161 → 2 × 1 + 61 = 63 = 7 × 9.

(J. Kashangaki, “A Test for Divisibility by Seven,” Mathematical Gazette 80:487 [March 1996], 226.

Математические трюки, полезные при обучении ребёнка математике

 

Отличный способ повысить эффективность обучения ребенка математике — использовать интересные приемы. К счастью, если вы учите делению, у вас есть много математических трюков.

Деление на 2

1. Все четные числа делятся на 2. Например, все числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8.

Деление на 3

1. Сложите все цифры в числе.

2. Если сумма делится на 3, то и число делится.

3. Например: 12123 (1+2+1+2+3=9) 9 делится на 3, следовательно, 12123 тоже!

Деление на 4

1. Делятся ли две последние цифры вашего числа на 4?

2. Если да, то число тоже!

3. Например: 358912 оканчивается на 12, которое делится на 4, и поэтому 358912 тоже делится на 4.

Деление на 5

1. Числа, оканчивающиеся на 5 или 0, всегда делятся на 5.

Деление на 6

1. Если число делится на 2 и 3, оно делится и на 6.

Деление на 7

Первый способ:

1. Возьмите последнюю цифру числа.

2. Удвойте и вычтите последнюю цифру вашего номера из остальных цифр.

3. Повторите процесс для больших чисел.

4. Пример: возьмем 357. Удвоим 7, чтобы получить 14. Вычтем 14 из 35, получим 21, что делится на 7, и теперь мы можем сказать, что 357 делится на 7.

Второй способ:

1. Возьмите число и умножьте каждую цифру, начинающуюся с правой стороны (единицы), на 1, 3, 2, 6, 4, 5.

2. Найдите сумму.

3. Если сумма делится на 7, то и ваше число делится.

4. Пример: 2016 делится на 7?

5. 6(1) + 1(3) + 0(2) + 2(6) = 21

6. 21 делится на 7, и теперь мы можем сказать, что 2016 тоже делится на 7.

Деление на 8

1. Это не так просто. Если последние 3 цифры делятся на 8, то и все число делится на 8.

2. Пример: 6008. Последние 3 цифры делятся на 8, то есть 6008 тоже делится.

Деление на 9

1. Почти то же правило и деление на 3. Складываем все цифры в числе.

2. Если сумма делится на 9, то и число делится.

3. Например: 43785 (4+3+7+8+5=27) 27 делится на 9, значит, 43785 тоже!

Водка и математика

Жизнь полна удивительных и необычных связей и совпадений.

Казалось, что может связывать водку и математику, кроме удивительной способности наших чиновников постоянно повышать на неё цены. И все же...

Трудно представить, что побудило советских инженеров и математиков заняться этими вычислениями, но их "открытие" показывает, что к "веселию Руси" имеет отношение даже число π. 

Почему, спросите, к этому открытию могли быть причастны инженеры? Чтобы в то время посчитать степень с дробным показателем, надо было уметь пользоваться логарифмической линейкой или, по меньшей мере, не полениться заглянуть в "Таблицы Брадиса".

 В 60-х годах прошлого века было установлено, что 1.49 в степени 2.87 с неплохой точностью равняется π.

1,49^2,87 ≈ 3,1408311560663396721068791820612 ≈ π

1.49 и 2.87 - в 60-е прошлого века годы стоимость четвертинки и поллитровки водки.


Другое совпадение, из более позднего периода, - 3.62 в степени 4.12 - с высокой точностью равно 200.

3,62^4,12 ≈ 200,39150667498887553187536774495 ≈ 200

Не всем уже известен сакральный смысл чисел 3.62 и 4.12 - стоимость поллитровок советской водки  - "Русской" и "Столичной".

Баланс в прямоугольнике

Для любого прямоугольника сумма квадратов расстояний от любой точки P до двух противоположных углов равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других углов (так, на рисунке, a² + c² = b² + d²). Это остаётся справедливым независимо от того, находится ли точка внутри или снаружи прямоугольника, на его стороне или на вершине, или даже вне плоскости.

Интересные свойства числа 100

100 = 10²  = 2 х 2 х 5 х 5 = 2² х 5²

100 = (1 + 2 + 3 + 4)²  (квадрат суммы первых четырех чисел)

100 = 1² + 1²  + 7²  + 7²  = 1² + 3²  + 3² + 9² – сумме четырех квадратов

100 = 10²  = 6² + 8² ({6; 8; 10} – Пифагоров треугольник)

100 = 1³ + 2³ + 3³ + 4⁴ = 1 + 8 + 27 + 64 - равно сумме первых четырех кубов

100 = 2 + 3 + 5 + 7  + 11 + 13 + 17 + 19 + 23  - равно сумме первых девяти простых чисел

100 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 – равно сумме первых десяти нечетных чисел

100 = 6² + 2⁶  (число Лейланда mⁿ + n^m)

100 = 15 + 21 + 28 + 36 – сумме четырех последовательных треугольных чисел

Как интересный геометрический результат породил бурильную машину... и не только её

А еще говорят, что математика абстрактная наука, которая не пригодится в жизни.

Представим, что маленький круг катится по внутренней стороне большой окружности, диаметр которой в два раза больше диаметра маленького круга. По какой траектории будет двигаться точка A?

Удивительно, но по прямой.

Английский изобретатель Мэтью Мюррей использовал этот принцип в 1802 году, чтобы создать гипоциклоидальный двигатель, в котором паровой поршень приводит в движение колесо.

Такой двигатель, к примеру, применяется в бурильных установках - БУРИЛЬНАЯ МАШИНА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ

Математика полезна для здоровья

Во время гражданской войны выдающийся физик-теоретик Игорь Тамм отправился по селам вокруг Одессы, чтобы обменять вещи на продукты. В одном из сел его схватили бандиты, решившие, что он большевистский агитатор. Бандиты привели Тамма к своему главарю.
На вопрос главаря, чем он занимается, Тамм ответил, что он математик.
Главарь не поверил и, перебирая "четки" из пуль и гранат, сказал: "Ладно. вычисли мне погрешность при разложении функции в ряд Тэйлора для N членов. Сделаешь - свободен. Ошибешься - расстреляю"
Выводя в пыли дрожащим пальцем математические символы, Тамм медленно сделал необходимые вычисления. Когда он закончил, бандит посмотрел на результат и махнул рукой.

В 1958 году Тамм удостоился Нобелевской премии по физике. Но так никогда и не узнал имени необычного бандита.

На всякий случай:

Интересное свойство правильного многоугольника, вписанного в окружность

В единичный круг вписан пятиугольник:

Удивительно, но AB × AC × AD × AE = 5.

Это верно для любого правильного n-угольника: для шестиугольника произведение равно 6, семиугольника – 7 и так далее. Кажется, первым это заметил Джон Буль.

Лиувилль: Еще один случай, когда сумма кубов равна квадрату суммы

 Хорошо известно, что сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Математик из Калифорнийского университета Дэвид Паньи нашёл еще один случай, когда сумма кубов равняется квадрату суммы. Возьмите любое целое письмо:

28

Запишем все его делители:

1, 2, 4, 7, 14, 28

Перечислим число делителей каждого из этих чисел:

1 имеет 1 делитель

2 имеет 2 делителя

4 имеет 3 делителя

7 имеет 2 делителя

14 имеет 4 делителя

18 имеет 6 делителей.

Сумма кубов этих делителей:

1³ + 2³ + 3³ + 2³ + 4³ + 6³ = 324

А квадрат суммы равен:

(1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6)² = 324

Сумма кубов таких чисел равна квадрату их суммы.

Источник: (David Pagni, “An Interesting Number Fact,” Mathematical Gazette 82:494 [July 1998], 271-273.)

Однако, еще раньше этот факт открыл Жозеф Лиувилль https://www.futilitycloset.com/2011/01/08/hocus-pocus/

Окружность Фейербаха или окружность девяти точек

Даже элементарная геометрия содержит в своих хранилищах множество чудес. Этот результат установил в 1765 году Леонард Эйлер и переоткрыл в 1822 году Фейербах (Feuerbach).


Нарисуйте треугольник, любой треугольник (хотя, вначале удобнее взять трегольник с острыми углами). Далее надо отметить девять особых точек на вашем чертеже.
1) Отметьте середины сторон треугольника (3 точки). Рисунок 1.

Рис. 1

2) Опустите из каждой вершины треугольника высоту на противолежащую сторону и отметьте основание высоты. (Если в треугольнике есть тупой угол, одна высота будет вне треугольника, так что продлите противоположную сторону до пересечения с высотой.) Рисунок 2. 

Рис. 2

3) Мы видим, что высоты пересеклись в одной точке. Отметьте середину между каждой вершиной и этой общей точкой. Рисунок 3. 

Рис. 3

Не имеет значения, какой треугольник вы построили — эти девять точек все лежат на окружности!  

Получившаяся окружность называется окружностью Фейербаха или окружностью девяти точек.  

Еще одно свойство треугольника Паскаля

wikipedia commons

Произведение шести чисел, окружающих любое внутреннее число, является квадратом.

Трехмерный аналог теоремы Пифагора. Теорема де Гюа

В 18-м столетии французский математик Жан Поль де Гюа де Мальв (1712 — 1785) открыл трехмерный аналог теоремы Пифагора.

Если в шестиграннике есть прямой угол, такой, как в кубе, то квадрат площади поверхности, противостоящей углу, равна сумме квадратов площадей трех других граней.


 Квадрат площади треугольника ABC равна сумме квадратов площадей треугольников ABO, ACO и BCO.

Функция Холловуда

Калифорнийский студент Дерек Холловуд (Derek Hollowood) создал эту функция, используя рекуррентную формулу:

H(x) = (10^{x + 1} - 9x — 10) : 81

h(-10) = 0.987654321

h(-9) = 0.87654321

h(-8) = 0.7654321

h(-7) = 0.654321

h(-6) = 0.54321

h(-5) = 0.4321

h(-4) = 0.321

h(-3) = 0.21

h(-2) = 0.1

h(-1) = 0

h(0) = 0

h(1) = 1

h(2) = 12

h(3) = 123

h(4) = 1234

h(5) = 12345

h(6) = 123456

h(7) = 1234567

h(8) = 12345678

h(9) = 123456789

Источник: Крис Смит (Chris Smith) и http://www.futilitycloset.com/