Сумма кубов

 Мы знаем эту замечательную связь:

1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)²

Следовательно, набор чисел {1,2,…,n} обладает тем свойством, что сумма его кубов равна квадрату его суммы. Существуют ли другие наборы чисел с этим свойством? Да, и следующий метод гарантированно сгенерирует такой набор.

Выберем число, любое число. Попробуем 63? 

Перечислите делители числа 63 и для каждого делителя числа 63 подсчитайте количество его делителей:

63 имеет 6 делителей (63, 21, 9, 7, 3, 1)

21 имеет 4 делителя (21, 7, 3, 1)

9 имеет 3 делителя (9, 3, 1)

7 имеет 2 делителя (7, 1)

3 имеет 2 делителя (3, 1)

1 имеет 1 делитель (1).

Полученный набор чисел обладает таким же свойством. А именно

6³ + 4³ + 3³ + 2³ + 2³ + 1³ = 324 = (6 + 4 + 3+ 2 + 2 + 1)²

Интересно, да?

Попробуйте объяснить

Лиувилль: Еще один случай, когда сумма кубов равна квадрату суммы

 Хорошо известно, что сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы:

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Математик из Калифорнийского университета Дэвид Паньи нашёл еще один случай, когда сумма кубов равняется квадрату суммы. Возьмите любое целое письмо:

28

Запишем все его делители:

1, 2, 4, 7, 14, 28

Перечислим число делителей каждого из этих чисел:

1 имеет 1 делитель

2 имеет 2 делителя

4 имеет 3 делителя

7 имеет 2 делителя

14 имеет 4 делителя

18 имеет 6 делителей.

Сумма кубов этих делителей:

1³ + 2³ + 3³ + 2³ + 4³ + 6³ = 324

А квадрат суммы равен:

(1 + 2 + 3 + 2 + 4 + 6)² = 324

Сумма кубов таких чисел равна квадрату их суммы.

Источник: (David Pagni, “An Interesting Number Fact,” Mathematical Gazette 82:494 [July 1998], 271-273.)

Однако, еще раньше этот факт открыл Жозеф Лиувилль https://www.futilitycloset.com/2011/01/08/hocus-pocus/