Хорды в единичном круге и эллипсе

 Возьмите N равноудаленных точек на единичной окружности. Выберите одну из этих точек, затем проведите из нее хорды ко всем остальным точкам на окружности, как показано на рис. 1. Чему равно произведение длин этих хорд? Сюрприз: для N точек произведение равно N. Круто, да ?

Что будет, если мы рассмотрим подобную операцию с элипсом вместо круга?

Рассмотрим N равноотстоящих точек на единичной окружности, с точкой P=(1,0) в качестве одной из этих равноотстоящих точек, и проведем (N-1) хорды от P до каждой другой точки. В первой части мы видели, что произведение длин этих хорд равно N. Но что произойдет, если мы растянем этот круг так, чтобы он стал эллипсом?

Например, предположим, что мы рассматриваем единичный круг (с хордами, проведенными от P к N-1 равноотстоящим точкам на круге), и теперь масштабируем вертикальное направление на Sqrt[5], так что круг становится эллипсом, вытянутым по вертикали ( и точки, где хорды встречаются с эллипсом, больше не находятся на одинаковом расстоянии друг от друга вдоль эллипса). Обратите внимание, что хорды удлиняются при таком масштабировании. Чему равно произведение длин хорд?

Удивительно, но это всего в N раз больше N-го числа Фибоначчи!

Двигаясь по эллипсу

Пусть дан эллипс и меньший эллипс внутри большего. Взяв точку на внешнем эллипсе, проведем в направлении против часовой стрелки прямую, касательную внутреннему эллипсу, до пересечения с внешним эллипсом. Из точки пересечения повторим операцию. И так далее. Смотрите рисунок.

Вполне возможно, что этот путь никогда не закончится в той точке, из которой мы начали движение. Но если нам удалось за конечное число шагов вернуться в начальную точку, то тогда верно следующее утверждение:

все такие пути, начинающиеся в любой точке внешнего эллипса, приведут нас в начальную точку за то же число шагов!

Этот факт известен как теорема Понселе.

Процесс, порождающий подобное движение может рассматриваться как динамическая система на внешнем эллипсе.